Quand j’étais étudiante (il y a longtemps ?!) un de mes cours était Les Mathématiques du Chaos. C’est devenu une véritable passion et à l’époque j’ai lu pas mal de livres sur ce sujet dont la Théorie du Chaos de James Gleick et Hasard et Chaos de David Ruelle. Ce physicien mathématicien, français mais d’origine belge (un Belge ne peut pas avoir la double nationalité) a énormément travaillé sur l’application de la théorie du chaos dans la mécanique des fluides et en particulier pour le phénomène de turbulence…un européen qui a vraiment fait avancer la science.
Je me suis remise cette année dans le bain…endroit où règne parfois le chaos quand nous y entrons ou nous en sortons… et j’ai lu le livre de Ian Stewart, Dieu joue-t-il aux dés? Livre un peu compliqué à aborder mais qui m’a donné l’envie d’aller plus loin…donc de futures lectures pour bientôt.
Qu’est ce que le chaos ?
Le chaos est une théorie mathématique récente, du XXème siècle, ce qui est important car les mathématiques que nous apprenons à l’école datent pour la plupart d’il y a longtemps, très très longtemps. Et la théorie du chaos non seulement est une révolution mathématique mais aussi une révolution presque philosophique. Quand vous connaissez le chaos, vous ne voyez plus le monde qui vous entoure de la même manière.
Je ne vais pas donner ici les explications mais si cela vous intrigue, Wikipédia donne une vision de cette belle théorie: voir la page sur la Théorie du Chaos,
Cette théorie mathématique permet en particulier de décrire ce qui est appelé systèmes complexes. Le classique est la turbulence, donc de la physique. Vous prenez un verre d’eau, une touillette, vous tournez et regarder le liquide: comment par une équation mathématique expliquer parfaitement comment l’eau tourne dans le verre ? Comment une fois la touillette enlevée déterminer exactement quand l’eau va se stabiliser, ne plus bouger ? La physique classique peut en partie répondre à cela mais pour le faire, elle est obligée de simplifier le système. Plus un système a de variables (densité de l’eau, densité et granularité de la paroie du verre, volume de l’eau, forme de la touillette, vitesse à laquelle vous remuez l’eau, angle de la touillette, température ambiante, de quel côté de l’équateur vous êtes, à quelle altitude vous êtes…), plus il est impossible de décrire le phénomène avec des équations . Et pourtant, l’eau reste dans le verre ( à part quelques gouttes…). Il y a bien une explication.
Tous les systèmes dans la réalité sont complexes, rien n’est simple. Et la théorie du chaos permet non seulement de les décrire mais aussi de prédire, tout du moins en partie, leur comportement…. dans un futur plus ou moins proche. Elle s’applique à des systèmes étudiés en physique, biologie, chimie, médecine, psychologie, météorologie, astronomie, économie… mais aussi de nouvelles hypothèses en physique quantique (un paragraphe extrêmement intéressant à ce sujet dans le livre de Ian Stewart). Bref, le chaos est partout.
Je vais donner quelques explications sur différents concepts de cette théorie ci-dessous. C’est la manière dont je la comprends donc il peut y avoir effectivement des erreurs d’interprétation…et si un lecteur en relève, qu’il n’hésite pas à m’en faire part dans les commentaires.
Qu’est ce que l’effet papillon ?
L’effet papillon est le terme que connaît le grand public par rapport à la théorie du chaos : un papillon bat des ailes au cercle polaire et cela crée une tornade dans les caraïbes. C’est mathématiquement exact: quand vous avez en main une équation mathématique décrivant un système complexe, elle a plusieurs variables. Avec cette équation, vous cherchez à prédire ce qui va se passer dans le futur. Pour faire cela, vous donnez à vos variables une valeur de départ. Et bien, dans certains cas, les prédictions se terminent en … tornade
A quoi cela ressemble? A cela:
(source Bureau d’Etudes, Hydraulique et Mécanique des Fluides)
Cela s’appelle la sensibilité aux sensibilité aux conditions initiales. La ligne est droite mais avec certaines valeurs initiales à un moment donnée, elle devient complètement chaotique.
La plupart des calculs dans ces mathématiques se font via l’informatique car les équations pour décrire les systèmes ne peuvent pas être résolues. Du coup, les programmes tournent par itérations, répétitions successives. Et bien, un nombre réel dans un ordinateur est tronqué, arrondi après la virgule: rien que cela peut entraîner des réponses chaotiques comme résultat. A noter d’ailleurs, que l’élaboration de cette théorie des mathématiques est complètement liée à l’arrivée du calcul sur ordinateur: travailler sur les équations complexes impossibles à résoudre prendrait un temps infini sans un PC à disposition.
Un exemple est que les modèles météorologiques ne sont pas applicables à long terme: quelle sera la température et va t’il pleuvoir dans 15 jours ? Personne ne peut répondre à cela.
Revenons au papillon. Alors, est-ce qu’il crée une tornade ? Notre bon sens nous dit que non et n’a peut-être pas tord. Dans la courbe ci-dessus, vous voyez le chaos mais notre monde, la planète terre, est un système extrêmement complexe, avec un nombre de variables infinies, quelque soit l’échelle à laquelle vous réfléchissez, de l’échelle de l’atome à celle des planètes, de l’univers et en passant par l’échelle humaine. Et pourtant ce système est stable, même s’il varie dans certaines proportions, il existe tout simplement. Alors, pourquoi notre système n’est pas un immense chaos vu tous les papillons qui volent dans les airs?
De ce que j’en ai compris (et j’espère ne pas me tromper), cela vient du fait que les systèmes restent dans des valeurs limites, des zones qui les attirent, ce qui s’appelle des attracteurs étranges, terme inventé par David Ruelle.
Quelques exemples d’attracteurs étranges
Le plus connu est celui de Lorenz: splendide papillon, non ?
(source Exercices Math Licence)
Cependant, je trouve que dans ces belles représentations, pleine de couleur, la notion de chaos n’est pas vraiment perçue. Mes recherches internet m’ont permis de trouver un très bel article d’une expérience qui montre l’émergence du chaos par rapport aux conditions initiales et visuellement avec des gifs animés comment cela se passe: Transition vers le chaos, un projet de l’Université de Nice Sophia Antipolis…ce projet date de 2017 et je trouve cela particulièrement intéressant que nos universités françaises travaillent sur le chaos.
La conclusion de ces expériences, je cite: “Finalement, nous pouvons dire que le chaos simule le hasard, amplifie les erreurs, semble imprévisible mais reste associé à des systèmes rigoureusement déterministes.”
Dans cette phrase, le terme si important : “systèmes déterministes”. Cela résume parfaitement ce qu’est le chaos: nous avons l’impression d’avoir à faire à des systèmes chaotiques, hasardeux et bien non, les systèmes restent dans des limites. Et grâce aux mathématiques du chaos, nous les rendons déterministes…ce qui veut dire que nous pouvons les modéliser et prévoir leur comportement.
Un autre mot clef: “le hasard”. Et bien, par la théorie du chaos, le hasard ou ce que nous interprétons comme du hasard, pour lequel nous travaillons avec statistiques et probabilités souvent s’explique de manière … déterministe. C’est à dire qui peut être déterminé à l’avance, donc prédit.
Les fractales
C’est un sujet sur lequel je dois encore travailler mathématiquement parlant donc je vais être assez brève et ne pas trop rentrer dans l’explication. Disons que les fractales sont une représentation mathématique des équations concernées par le chaos, et qui permet de révéler un phénomène incroyable du monde qui nous entoure.
Une fractale est une représentation géométrique d’un système qui se répète…et que nous retrouvons partout dans la nature.
Ce matin, avant d’écrire cet article, j’ai fait un petit tour dans mon appartement pour en prendre une en photo. J’ai une plate que j’aime beaucoup, une plante vendue surtout à Noël car c’est la période où elle a de splendides feuilles rouges mélangées à des feuilles vertes: un poinsettia.
Voilà une photo d’une de ses feuilles, il n’y en a plus que des vertes aujourd’hui:
Vous avez la nervure centrale, elle se subdivise en nervures secondaires, qui se subdivisent en plus petites nervures, qui se subdivisent elle-aussi. Si j’agrandis un des bords de la feuille:
Une structure qui se rapproche d’une application à la base de la théorie du chaos: The Logistic Map. Elle représente les divisions par bifurcation d’un système.
Dans son livre, Ian Stewart parle des bifurcations du figuier, diagramme de Feigenbaum, qui se subdivisent à l’infini : si vous mettez un microscope dans le diagramme, vous retrouvez la même structure exactement et cela se répète à l’infini
(source: Automaths)
Intéressant, ma feuille de poinsettia a un bord…une limite…j’avoue que si j’avais un microscope, je regarderai bien ce qui se passe en agrandissant les petites nervures.
Donc j’ai des fractales dans mon appartement, mais il suffit de regarder par la fenêtre, de voir un arbre et là, si vous laissez un peu l’imagination mathématique se réveiller, vous voyez une très grande fractale.
Des structures plus complexes en trois dimensions se trouvent même dans votre cuisine. Si vous voulez faire un gratin de choux fleurs italien: non seulement c’est très bon à la béchamel avec du gruyère mais à chaque fois que j’en cuisine un, je le regarde un peu fascinée car c’est ma fractale préférée de la vie de tous les jours ?
Je finis avec la fractale la plus connue, celle de Mandelbrot:
(source: Tutoriel : Dessiner la fractale de Mandelbrot, si vous avez envie de vous amuser)
Une fractale est donc une structure qui se répète à l’infini et il existe de nombreuses équations mathématiques permettant de décrire ce processus. Structures qui nous entourent partout où nous allons dans la nature, à notre échelle, mais aussi dans la structure de l’univers ou dans des structures microscopiques.
Conclusion
Alors, la théorie du chaos, n’est pas une science fascinante ? Sans jeu de mot, les attracteurs ne créent-ils pas un processus d’attraction en eux-même, pour les comprendre, les regarder, les étudier. Une théorie qui décrit notre monde à toutes ses échelles.
Les scientifiques parlent de la “Théorie du tout”, pour moi, cette vision du monde est si vaste qu’elle en fait partie intégralement. Et si cette recherche de la théorie du tout est principalement menée par les physiciens…peut-être oublient-ils souvent qu’elle doit pouvoir être appliquée à toutes les sciences et en particulier celles de la vie.
Je questionnais une personne de 15 ans l’autre jour : “Tu connais les fractales ?”. Réponse “Non, jamais entendu parler”. Et bien, si vous voulez faire aimer les mathématiques à des jeunes, faites leur taper “Image fractale” ou “Attracteur étrange” sur Google Image, montrez leur ces fantastiques représentations, souvent retravaillées par des artistes. Emmenez les se promener dans la campagne à la recherche des fractales. Ils vont adorer ce jeu, et peut-être si ensuite vous leur expliquer que tout cela est mathématique, iront-ils à leur cours de géométrie avec un autre regard.
De mon côté, d’autres lectures suivront, d’autres jeux avec mon ordinateur…à suivre.
Articles sur les mathématiques du chaos:
